Welch の検定 - 分散が等しいと言えない場合の t 検定

statistics/mean/t_test_welch
6-18-2015 updated


  1. 概要: Welch の検定
統計の基礎
t 検定を理解するために

以下の順番に読んでみて下さい。

  1. 仮説検定
  2. z 検定
  3. t 検定の原理 - 母平均の検定
  4. 対応のある t 検定
  5. t 検定 のメインページ: 等分散の場合
  6. Welch の t 検定: このページ
  7. Mann-Whitney の U 検定
  8. t 分布
  9. 実践: Excel での t 検定, 平均値と分散を用いた t 検定




概要: Welch の検定

このページでは,目次に示した「t 検定を理解するために」の流れで Welch の t 検定を説明します。

Welch の t 検定は,母分散が等しいと仮定できない場合 の検定である。母分散は通常の場合未知であるので,2 つの標本集団の分散から推察するしかない。標本集団の分散が大きく異なっている場合は,母分散が等しいと仮定できないと推論することになるだろう。F 検定の是非については t 検定 のメインページ で考察がある。


この場合も,もちろん帰無仮説は等式で表されるので,


帰無仮説: 標本集団 A および B の平均値は同じである。
対立仮説: 標本集団 A および B の平均値は同じでない。


となる。これまでと違うのは,検定統計量の定義だけである。

左は,t 検定 のメインページ で示した等分散を仮定できるときの t 値である。どちらの t 値でも,Xa, Xb は標本集団 A および B の平均値,na, nb は標本数。違うのは分散の部分である。


z value z value

ue2 は併合分散で,これは分散が等しい
場合にのみ使うことができる。
ua2,ub2 は標本集団 A および B の標準不偏分散で,
分散が等しいと仮定できないのでこれらを別々に
用いなければならない。

右側の Welch の t 検定の t 値は,残念なことに 近似でしか t 分布に従わない。逆に言えば,この近似を編み出したことが Welch の功績なのだろう。さらに自由度 v も近似であり,以下の式で表される。整数になる場合はその値を,ならない場合はもっとも近い値を自由度として扱う。

以降の手順は,他の t 検定と同じなので省略する。





References

  1. MATLAB による仮説検定の基礎. Web pdf.
  2. バイオインフォマティクス入門. ウェルチの t 検定. Link.
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